Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．

Answer 1

,

解：（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得.
∴椭圆的方程                                                                                        
（2），设边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为                    
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，


因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上．                       
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得


∴直线与直线的交点在直线上．