Question

【题目】已知函数对任意实数，恒有，且当，，又.

（1）判断的奇偶性；

（2）求在区间上的最大值；

（3）是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在求出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函数；（2）6；（3）存在，

【解析】

（1）先求得，然后求得，由此判断出为奇函数.

（2）判断出的单调性，由此求得在区间上的最大值.

（3）根据的单调性和奇偶性化简不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）依题意，函数对任意实数，恒有.

令，得，解得.

令，得，即，故函数为奇函数.

（2）任取，即，即，所以在上递减.所以在区间上的最大值为.

（3）由（1）（2）知是在上递减的奇函数，故由得，即，即，对对一切都成立，所以，即，解得.