Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=ax++b≥2+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f（x）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，可得：
f（1）=，∴a++b=①
f'（x）=a-，∴f′（1）=a-=②
由①②得：a=2，b=-1
分析：（Ⅰ）根据a＞0，x＞0，利用基本不等式，可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，建立方程组，即可求得a，b的值．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及基本不等式的应用，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．