Question

已知sin(α+β)=

5

13

，tanβ=

1

2

，且α，β∈（0，π）．
（Ⅰ）求sinβ，cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由tanβ=

1

2

=

sinβ

cosβ

，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1，解方程组求得sinβ，cosβ的值．
（Ⅱ）由sin(α+β)=

5

13

可得cos（α+β）=

12

13

 或-

12

13

，根据sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
求出sinα的值．

解答：解：（Ⅰ）∵tanβ=

1

2

=

sinβ

cosβ

，且α，β∈（0，π），sin²β+cos²β=1．
∴sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

．
（Ⅱ） 由（1）知β∈（0，

π

6

），且α+β∈（0，

7π

6

），
由 sin(α+β)=

5

13

 可得cos（α+β）=

12

13

 或-

12

13

．
∴当cos（α+β）=

12

13

 时，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=-

2 5

65

，不合题意舍去．
当cos（α+β）=-

12

13

 时，sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

22 5

65

．
综上，sinα=

22 5

65

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，注意角的范围及角的变换，这是解题的关键．