Question

【题目】已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

(1)根据的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.

(2)根据题意，需求的最值，结合(1)可得且，于是此式可转化为关于的函数，再利用导数求其最值即可.

（1）由题意得，

，

令.

①当时，恒成立，则在上单调递减.

②当时，，函数与轴有两个不同的交点，

则，

所以当时，单调递增；

当时，单调递减.

③当时，，函数与轴有两个不同的交点，

则，

所以时，单调递减；

时，单调递增；

时，单调递减.

综上所述：当时，在上单调递减.

当时，时，单调递增；

时，单调递减.

当时，时，单调递减；

时，单调递增；

时，单调递减.

（2）由（1）知：时有两个极值点，

且为方程的两根，

.

.

所以.

所以在时恒成立.

令，则.

令则，

所以在上单调递减.又，

所以在上恒成立，即.所以.

所以在上为减函数.所以.

所以，即的取值范围是.