Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有.则椭圆的方程为.

(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论：当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设，，，，联立直线方程与椭圆方程有，由弦长公式可得.联立直线与椭圆方程，结合弦长公式有.计算可得.据此可得：为定值.

试题解析：

（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，

则有.

由，得.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，

则.

（2）当直线的斜率存在时，

设直线的斜率为，依题意，

则直线的方程为，直线的方程为.

设，，，，

由得，

则，，

.

由整理得，则.

.

∴.

综合（1）（2），为定值.