Question

函数f(x)=

x2+6

x2+5

的最小值是

6 5

5

．

Answer 1

分析：将函数进行变形，利用基本不等式进行求解．

解答：解：∵函数f(x)=

x2+6

x2+5

=

x2+5+1

x2+5

=

x2+5

+

1

x2+5

，
∴根据基本不等式得f（x）≥2

x2+5 ? 1 x2+5

=2，
当且仅当

x2+5

=

1

x2+5

，即x²+5=1取等号，显然等式不成立，
∴基本不等式不成立．
设t=

x2+5

，则t≥

5

，
则函数等价为y=g（t）=t+

1

t

，
则g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，当t≥1时，g′（t）≥0，此时函数g（t）单调递增，
∴g（t）≥g(

5

)=

5

+

1

5

=

6 5

5

，
故函数f（x）的最小值为：

6 5

5

．
故答案为：

6 5

5

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可．当基本不等式不能使用时，要利用函数的单调性来解决．