Question

如图，E为矩形ABCD所在平面外一点，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC．
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．…（3分）
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF．…（5分）
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（7分）
（2）由题意，得G是AC的中点，连FG，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF．
而BC=BE，∴F是EC的中点…（9分）
∴AE∥FG，且．
而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．…（11分）
∴．
∴．
∴．…（13分）
分析：（1）通过AD⊥平面ABE，得到AE⊥BC，证明AE⊥BF．然后证明AE⊥平面BCE；
（2）得G是AC的中点，连FG，推出CE⊥BF．通过F是EC的中点，然后证明FG⊥平面BCF求出S_△CFB．然后求出体积．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．