Question

（2012•湘潭三模）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱锥F-ABC的体积V_F-ABC．

Answer 1

分析：（I）设DF的中点为N，连接MN、AN，利用三角形中位线定理并结合矩形ABCD的性质，得四边形MNAO为平行四边形，从而OM∥AN，可得OM∥平面DAF；
（II）在圆O中根据平面几何知识，得等腰梯形ABEF中，AF=BE=1且BF=

3

，算出△ABF的面积，根据BC⊥平面ABEF，结合锥体体积公式可算出三棱锥F-ABC的体积V_F-ABC．

解答：解：（Ⅰ）设DF的中点为N，连接MN、AN，则
∵△CDF中，M、N分别为CF、DF的中点
∴MN∥CD且MN=

1

2

CD，
又∵矩形ABCD中，AO∥CD且AO=

1

2

CD，
∴MN∥AO且MN=AO，得四边形MNAO为平行四边形         …（2分）
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF…（4分）
∴OM∥平面DAF…（6分）
（Ⅱ）∵圆O中，EF∥AB，
∴AF=BE，四边形ABEF是等腰梯形
∵AB=2，AF⊥BF，EF=1
∴AF=BE=1，BF=

3

，…（8分）
因此，S△ABF=

1

2

AF×BF=

3

2

…（10分）
又∵CB⊥平面ABEF
∴V_F-ABC=VC-ABF=

1

3

CB•S△ABF=

1

2

3

…（12分）

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行，并求三棱锥的体积，着重考查了空间的线面垂直、线面平行的判定与性质，锥体体积的求法等知识，属于中档题．