Question

已知函数f（x）=

x

ax+b

（a、b为常数且a≠0）满足f（2）=1且f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的表达式；
（2）记x_n=f（x_n-1）（n∈N且n＞1），且x₁=f（1），求数列{x_n}的通项公式．
（3）记 y_n=x_n•x_n+1，数列{y_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）由ax²+（b-1）x=0有唯一解，知b=1，由f（2）=

2

ax2+1

=1，知a=

1

2

，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由xn=f(xn-1)=

xn-1

1 2 xn-1+1

，知

1

xn

=

1

xn-1

+

1

2

，由x1=f(1)=

2

3

，知

1

x1

=

3

2

，由此能求出数列{x_n}的通项公式．
（3）由yn=xn•xn+1=

2

n+2

×

2

n+3

=4(

1

n+2

-

1

n+3

)，知S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1=4[（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）]，由此能证明S_n＜

4

3

．

解答：解：（1）由f(x)=

x

ax+b

=x即ax²+（b-1）x=0有唯一解，∴b=1，
又f（2）=

2

ax2+1

=1，∴a=

1

2

，
∴f(x)=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

，（4分）
（2）由xn=f(xn-1)=

xn-1

1 2 xn-1+1

，∴

1

xn

=

1

xn-1

+

1

2

，（6分）
又x1=f(1)=

2

3

，∴

1

x1

=

3

2

，
∴数列{

1

xn

}是以首项为

3

2

，公差为

1

2

的等差数列（8分）
∴

1

xn

=

3

2

+(n-1)×

1

2

=

n+2

2

，∴xn=

2

n+2

（10分）
（3）由yn=xn•xn+1=

2

n+2

×

2

n+3

=4(

1

n+2

-

1

n+3

)（12分）
∴S_n=y₁+y₂+y₃+…+y_n=x₁x₂+x₂x₃+…+x_nx_n+1
=4[（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）]
=4（

1

3

-

1

n+3

）＜

4

3

．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用．