Question

已知函数f（x）=cos²（x-

π

6

）-sin²x．
（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程；
（2）若对于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用和差化积公式变形为一个角的余弦函数，根据余弦函数的递减区间及对称轴即可确定出f（x）的递减区间及对称轴；
（2）根据余弦函数的定义域与值域求出f（x）的最大值，对于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，可得出c大于等于f（x）的最大值，即可确定出c的范围．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

[1+cos（2x-

π

3

）-（1-cos2x）]=

1

2

[cos（2x-

π

3

）+cos2x]=cos

π

6

cos（2x-

π

6

）=

3

2

cos（2x-

π

6

），
令2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z，
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z；令2x-

π

6

=kπ，k∈Z，
解得：x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；
对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z；
（2）∵-1≤cos（2x-

π

6

）≤1，
即-

3

2

≤

3

2

cos（2x-

π

6

）≤

3

2

，
∴f（x）_max=

3

2

，
由对于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，
得到c≥f（x）_max=

3

2

，
则c的取值范围是[

3

2

，+∞）．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及余弦函数的单调性及对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．