Question

函数y=x²的曲线上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°，则点A的坐标为

 

．

Answer 1

分析：设出切点A的坐标，求出y的导函数，把A点的横坐标代入y的导函数中求出切线的斜率，又直线3x-y+1=0的斜率为3，根据夹角公式列出方程求出A点的横坐标，把A的横坐标代入曲线方程中即可得到A的纵坐标，写出A的坐标即可．

解答：解：设点A的坐标为（x₀，y₀），
则y′|_x=x0=2x|_x=x0=2x₀=k₁，又直线3x-y+1=0的斜率k₂=3．
∴tan45°=1=

|k2-k1|

|1++k2k1|

=|

3-2x0

1+6x0

|．解得x₀=

1

4

或x₀=-1．
将x₀=

1

4

或x₀=-1分别代入到y═x²中得到y₀=

1

16

或y₀=1，
所以A点坐标为（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）．
故答案为：（

1

4

，

1

16

）或（-1，1）

点评：考查学生会利用导数求切线的斜率，灵活运用两直线夹角的公式化简求值．