Question

已知二次函数的图象过原点且关于y轴对称，记函数 ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）当的单调递减区间；
（Ⅲ）试讨论函数 y=h（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．

Answer 1

解：（I）∵y=ax²+（b+ ）x+c﹣1是偶函数，
∴b+ =0，b=﹣ ，
又∵图象过原点，
∴c=1， ∴b=﹣ ，c=1，
（Ⅱ）当a= 时，h（x）= （ ）
h′（x）= 
=  = 
令f′（x）＜0得，函数单调递减区间是（2﹣ ，2+ ），
（III）∵函数h（x）的图象上垂直于y轴的切线，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=  （ax²﹣ x+1）+ （2ax﹣ ）= 
即5ax²﹣2x+1=0存在正根，△=4（1﹣5a）．
①当a＞ 时，△＜0，方程5ax²﹣2x+1=0无实数根，
此时函数h（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
②当a= 时，△=0，方程5ax²﹣2x+1=0根为x=1，
此时函数h（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
③当0＜a＜ 时，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有两个实数根x₁，x₂，
x₁+x₂= ＞0，x₁x₂= ＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有两个不等的正实数根
此时函数h（x）的图象上有垂直于y轴的切线
④a＜0时，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有且仅有一个正实数根，
此时函数h（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线综上：
当a＞ 时，不存在垂直于y轴的切线
当a= 或a＜0时，存在一条垂直于y轴的切线
当0＜a＜ 时，存在垂直于y轴的切线．