题目内容

在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）（理）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）当点Q在（Ⅰ）中的曲线上运动时，求|PQ|的最大值的集合．

解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a（a＞0）为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴焦距2c=AB=6 （1分）
∵ $\text{[math]}$ （2分）
又∵PB．PA $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时p（0，±4），由题意得 $\text{[math]}$
∴a²=25∴C点的轨迹方程为 $\text{[math]}$ （3分）
（注：y≠0没写扣（1分）：文科（Ⅰ）分别为2，3，（3分），共8分）
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），
当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简得 $\text{[math]}$ ，显然有△≥0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁．x₂= $\text{[math]}$
而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5- $\text{[math]}$ ）（5- $\text{[math]}$ ）=25-3（x₁+x₂） $\text{[math]}$ …（2分）
=25+ $\text{[math]}$
只考虑 $\text{[math]}$ 的最小值，即考虑1- $\text{[math]}$ 的最小值，易知当k=0时，1- $\text{[math]}$ 的最小值
此时|BM|•|BN|取最小值16（2分）
当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3得|BM|•|BN|=（ $\text{[math]}$ ）²＞16；（1分）
但 $\text{[math]}$ ，故这样的M，N不存在，即|BM|•|BN|的最小值集合为空集（1分）
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），
则|PQ|²=x²+（y-4）²=25- $\text{[math]}$ +（y-4）²=- $\text{[math]}$ ，
∵-4≤y≤4且y≠0，
∴当y=-4时，|PQ|取到最大值8 集合为{8} （6分）
分析：（Ⅰ）P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2c=AB，由余弦定理可得 $\text{[math]}$ 及基本不等式PB．PA $\text{[math]}$ ，可求 $\text{[math]}$ ，从而可求a，及C点的轨迹方程
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简 $\text{[math]}$ ，显然有△≥0，由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=（5- $\text{[math]}$ ）（5- $\text{[math]}$ ）及方程的根与系数的关系|BM|•|BN|取最小值，结合椭圆的 $\text{[math]}$ 得性质判断M，N是否存在，使得|BM|•|BN|的最小值
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），则|PQ|²=x²+（y-4）²=25- $\text{[math]}$ +（y-4）²=- $\text{[math]}$ ，由-4≤y≤4且y≠0，结合二次函数的性质可求
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程，利用函数的性质求解函数的最值问题，要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力