Question

设

a

=（sin2

x

2

，cosx-sinx），

b

=（4cosx，cosx+sinx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g(x)=f(x)+2

3

|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量数量积的公式求得f（x）的解析式．
（2）根据函数g(x)=f(x)+2

3

|sinx|=

4sin(x+ π 6 )-1 ，x∈[0 ，π] -4sin(x- π 6 ) -1，x∈[π ，2π]

，画出函数g（x）的图象，数形结合求得k的范围．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=4cosxsin2

x

2

+cos²x-sin²x=2cosx-1．
（2）函数g(x)=f(x)+2

3

|sinx|=2cosx+2

3

|sinx|-1=

4sin(x+ π 6 )-1 ，x∈[0 ，π] -4sin(x- π 6 ) -1，x∈[π ，2π]

，
画出函数g（x）的图象，如图：
故当函数g（x）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点时，k的范围为[1，3）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、和数形结合的数学思想，
属于中档题．