Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）当a=

∫

π 2 0

(cos2

x

2

-sin2

x

2

)dx时，若f（x）在（0，m]上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用定积分求出a=1，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间，从而得出m的取值范围．
（2）函数在区间（0，1]上的最值问题，利用导数研究其单调性，结合极值点和端点的比较得到其最值，即可确定待定量a的值．

解答：解：对函数求导得：f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a，定义域为（0，2）
（1）由于a=

∫

π 2 0

(cos2

x

2

-sin2

x

2

)dx=

∫

π 2 0

(cosx)dx=sinx|

π 2 0

=1
当a=1时，f′（x）=

1

x

-

1

2-x

+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜

2

时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，

2

＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，

2

），单调减区间为（

2

，2），
若f（x）在（0，m]上是单调函数，则m≤

2

．
∴m的取值范围：0＜m≤

2

．
（2）当x∈（0，1]时，f′(x)=

1

x

-

1

2-x

+a＞0，
得（0，1]为单调递增区间．
从而最大值在右端点取到．fmax=f(1)=a=

1

2

所以a=

1

2

．

点评：考查定积分、利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．