Question

（2012•枣庄一模）甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是

1

2

，三人都做对的概率是

1

24

，三人全做错的概率是

1

4

，已知乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率．
（1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；
（2）设三人中做对这道题的人数为X，求椭机变量X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）先设出乙、丙两人各自做对这道题的概率，再用这两个概率表示甲、乙、丙三人都做对的概率，甲、乙、丙三人全做错的概率，根据已知，利用乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率，即可求出；
（2）确定X的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求得椭机变量X的分布列和期望．

解答：解：（1）分别记甲、乙、丙三人各自全做对这张试卷分别为事件A，B，C，则P（A）=

1

2

根据题意得

1 2 P(B)P(C)= 1 24 (1- 1 2 )(1-P(B))(1-P(C))= 1 4

∵乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率，
∴P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

；
（2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，则
P（X=1）=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×

1

4

=

11

24

∵P（X=0）=

1

4

，P（X=3）=

1

24

∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=

1

4

∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

EX=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．