Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₆-1）³+2013（a₆-1）=1，（a₂₀₀₈-1）³+2013（a₂₀₀₈-1）=-1，则下列结论中正确的是（　　）

A．S₂₀₁₃=2013，a₂₀₀₈＜a₆

B．S₂₀₁₃=2013，a₂₀₀₈＞a₆

C．S₂₀₁₃=-2013，a₂₀₀₈≤a₆

D．S₂₀₁₃=-2013，a₂₀₀₈≥a₆

Answer 1

分析：可令x=a₆-1，y=a₂₀₀₈-1，利用已知条件可求得a₆+a₂₀₀₈=2，再利用等差数列的性质可求得S₂₀₁₃=2013，再由已知可求得x＞0，y＜0，从而可得答案．

解答：解：令x=a₆-1，y=a₂₀₀₈-1，
则x³+2013x=1①
y³+2013y=-1②
∴①+②得：x³+y³+2013（x+y）=0，
∴（x+y）[x²-xy+y²+2013]=0，
即（x+y）[(x-

y

2

)2+

3

4

y²+2013]=0，
∴x+y=0，
即a₆-1+a₂₀₀₈-1=0，
∴a₆+a₂₀₀₈=2，
又数列{a_n}为等差数列，数列{a_n}的前n项和为s_n，
∴a₁+a₂₀₁₃=a₆+a₂₀₀₈=2，
∴S₂₀₁₃=2013，可排除C，D；
又x³+2013x=1?x（x²+2013）=1，
∴x=

1

x2+2013

＞0，即a₆-1＞0，
∴a₆＞1，同理可得a₂₀₀₈＜1，
∴a₆＞a₂₀₀₈．可排除B，
故选A．

点评：本题考查等差数列的性质，考查等价转化的思想与方程思想，考查创新思维能力，属于难题．