Question

[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，DC的中点．
（1）求AE与D₁F所成的角；
（2）证明AE⊥面A₁D₁F．

Answer 1

【答案】分析：解法一（1）利用向量的数量积求出，即可求出AE与D₁F所成的角是90°；
（2）通过（1），以及证明AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，即可得到结论．
解法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出AE与D₁F的向量，通过数量积求出它们的夹角．
（2）通过数量积为0，说明，AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，得到结论．
解答：解：法一（1）设正方体的棱长为1，==
所以所成的角为90°  …（5分）
（2）由（1），
所以AE⊥A₁D₁，又D₁F∩A₁D₁=D₁，
所以AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），
E（1，1，），F（0，，0），
D₁（0，0，1）D（0，0，0）
所以．
可得，
故所成的角为90°
（2）
所以AE⊥A₁D₁，
又D₁F∩A₁D₁=D₁，
故AE⊥平面A₁D₁F．…（10分）
点评：本题是立体几何证明直线与平面的垂直，直线与直线所成的角的求法，考查计算能力，空间想象能力．