题目内容
[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点．（1）求AE与D1F所成的角；
（2）证明AE⊥面A1D1F．
分析：解法一（1）利用向量的数量积求出
•
=0，即可求出AE与D1F所成的角是90°；
（2）通过（1）
⊥
，以及证明AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，即可得到结论．
解法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出AE与D1F的向量，通过数量积求出它们的夹角．
（2）通过数量积为0，说明
⊥
，AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，得到结论．
| AE |
| D1F |
（2）通过（1）
| AE |
| D1F |
解法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出AE与D1F的向量，通过数量积求出它们的夹角．
（2）通过数量积为0，说明
| AE |
| D1F |
解答：解：法一（1）设正方体的棱长为1，
•
=(
+
)•(
+
)=
•
+
•
+
•
+
•
=
•
+
•
=
-
2=0
所以
⊥
，即AE与D1F所成的角为90° …（5分）
（2）由（1）
⊥
，又
•
=(
+
)•A1D1=
•
+
•
=0，
所以AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，
所以AE⊥平面A1D1F．…（10分）
法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），
E（1，1，
），F（0，
，0），
D1（0，0，1）D（0，0，0）
所以
=(0，1，
)，
=(0，
，-1)．
可得
•
=(0，1，
)•(0，
，-1)=0，
故
⊥
即AE与D1F所成的角为90°
（2）
=(1，0，0)=
，且
•
=(1，0，0)•(0，1，
)=0
所以AE⊥A1D1，
又D1F∩A1D1=D1，
故AE⊥平面A1D1F．…（10分）
| AE |
| D1F |
| AB |
| BE |
| D1D |
| DF |
| AB |
| D1D |
| AB |
| DF |
| BE |
| D1D |
| BF |
| DF |
| AB |
| DF |
| BE |
| D1D |
| 1 |
| 2 |
| AB2 |
| 1 |
| 2 |
| D1D |
所以
| AE |
| D1F |
（2）由（1）
| AE |
| D1F |
| AE |
| A1D1 |
| AB |
| BE |
| AB |
| A1D1 |
| BE |
| A1D1 |
所以AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，
所以AE⊥平面A1D1F．…（10分）
法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），
E（1，1，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
D1（0，0，1）D（0，0，0）
所以
| AE |
| 1 |
| 2 |
| D1F |
| 1 |
| 2 |
可得
| AE |
| D1F |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故
| AE |
| D1F |
（2）
| DA |
| D1A1 |
|
| AE |
| 1 |
| 2 |
所以AE⊥A1D1，
又D1F∩A1D1=D1，
故AE⊥平面A1D1F．…（10分）
点评：本题是立体几何证明直线与平面的垂直，直线与直线所成的角的求法，考查计算能力，空间想象能力．
练习册系列答案
相关题目
（理科做）如图所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立适当的空间坐标系，利用空间向量求解下列问题：
的焦点为
，点
（与原点不重合）在抛物线上．
的直线交抛物线于
两点，连接
分别交
轴于
两点，（直线
；
为抛物线上两点，过
，（
不重合，与
轴），求证:
．
