Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正实数，使得：当时，不等式恒成立？请给出结论并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.

试题分析：（Ⅰ）先求，利用辅助角公式，函数的性质求得；（Ⅱ）构造新函数，用导数法求解，需要对进行分类讨论；（Ⅲ）探索性问题，构造新函数，用导数法解题.
试题解析：（Ⅰ）由于，
所以.       (2分)
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.                       (6分)
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，
所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，
所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                    (9分)
（Ⅲ）存在正实数使得当时，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                        (10分)
因为，且，，
所以存在正实数，使得，
当时，，在上单调递减，即当时，，
所以只需均满足：当时，恒成立.    (14分）
注：因为，，所以的性质，恒成立问题.