Question

已知向量

m

=（2sinx，0），

n

=（sinx+cosx，sinx-cosx），且f（x）=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若f（α）=1，sinβ=

1

3

，0＜α＜

π

2

＜β＜π，求cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积的坐标运算与倍角公式可将f（x）转化为f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，从而可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）由f（α）=1⇒α=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），继而可得α=

π

8

，利用两角和的余弦即可求得cos（2α+β）的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，f（x）_min=-

2

+1…6分
（2）由f（α）=1得，sin（2α-

π

4

）=0，即2α-

π

4

=kπ，则α=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
又α∈（0，

π

2

），则α=

π

8

…8分
由sinβ=

1

3

，0＜α＜

π

2

＜β＜π，得cosβ=-

2 2

3

…10分
∴cos（2α+β）=cos（

π

4

+β）=

2

2

cosβ-

2

2

sinβ=-

2

3

-

2

6

…12分

点评：本题考查数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查辅助角公式与两角和的余弦，属于中档题．