Question

已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.

(1)当弦被点平分时，写出直线的方程；

(2)是否存在直线把圆周分为两段弧, 若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)  (2) 直线,或

解析:

（1）解：设直线，又因为弦被点平分，易知存在。

故有，，………………….4分

所以直线，即：直线…………….6分

（2）法一 垂径定理

若直线把圆的周长分为，则可得：圆心角，

所以可设设直线，即

因为，△为等腰直角三角形，………………..8分

圆心到的距离为

由点到直线的距离公式得 …………………….10分

     ，

或   ，…………………………………..12分

 故直线,或……………….14分

法二：（利用韦达定理 ）

若直线把圆的周长分为，则可得：圆心角，所以可设设直线，联立圆的方程: 得: …………….2分

 又过圆内的点,故直线与圆必相交,

且有: …….(*      )..................4分

由弦长公式,…………..8分

将（*）式代人弦长公式可得：  ，…………………..10分

或   ， ………………………………………….12分

故直线,或…………………………..14分