Question

（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知三点，，，曲线C上任意—点满足：．
(l)求曲线C的方程；
(2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M,N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为，．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
(3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点M (0,m)在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为(0,2)时，取得最小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

(l)  (2)  (3)

试题分析：（1）由题意可得，，
所以，
又，
所以，即. 
（2）因为过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称，
所以可设. 
因为在椭圆上，所以有
， ………① 
， ………②
①-②得
.
又,， 
所以，
故的值与点的位置无关，与直线也无关. 
（3）由于在椭圆上运动，椭圆方程为，故，且
.  因为，所以
．
由题意，点的坐标为时，取得最小值，即当时，取得最
小值，而，故有，解得．
又椭圆与轴交于两点的坐标为、，而点在线段上，       即，亦即，所以实数的取值范围是．
点评：求轨迹方程的大体步骤：1建立直角坐标系，设出动点坐标,2找到关于动点的关系式，3关系式坐标化，整理化简，4除去不满足题意要求的个别点。本题第二三小题较复杂，学生很难达到满分