Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，且当x=

1

2

时，函数f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b₁=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，证明：{

bn

2n

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式通项及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由当x=

1

2

时，函数f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得极值，先求出函数f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x的导数，得
f′（x）=a_n•x-a_n+1，再由x=2时，导数为0得

1

2

an=an+1，进而用等比数列的通项公式去求．
（Ⅱ）可通过证明数列{

bn

2n

}的后一项减前一项是同一常数，来证明明数列{

bn

2n

}是等差数列．再用错位相减法求和．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a_n•x-a_n+1（1分）
由题意f′(

1

2

)=0得

1

2

an=an+1（3分）
∴数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，∴an=(

1

2

)n（5分）
（Ⅱ）由（1）知b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹，∴b_n+1=2b_n+2ⁿ⁺¹
∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=

2n+1

2n+1

=1
∴{

bn

2n

}是以1为首项，1位公差的等差数列（7分）
∴

bn

2n

=1+(n-1)=n，∴b_n=n•2ⁿ（8分）
S_n=1•2+2•2²++n•2ⁿ，2S_n=1•2²++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得：-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2（11分）
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（12分）

点评：此题主要考查了数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列和，做题时要认真审题，发现规律．