题目内容
已知函数f（x）=x3+x①判断f（x）的奇偶性；
②证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
【答案】分析：①根据奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）之间的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；
②利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＞f（x1）就可，把x1和x2分别代入函数f （x）=-x3+x进行证明．
解答：解：①函数f（x）为奇函数．
因为f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
②任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x13+x1）-（x23+x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=（x1-x2）[（x1+
x2）2+
+1]，
由x1＜x2，得x1-x2＜0，（x1+
x2）2+
+1＞0，
于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以，函数f（x）在R上是增函数．
点评：此题主要考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．
②利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＞f（x1）就可，把x1和x2分别代入函数f （x）=-x3+x进行证明．
解答：解：①函数f（x）为奇函数．
因为f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
②任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x13+x1）-（x23+x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）+（x1-x2）=（x1-x2）[（x1+
x2）2++1]，由x1＜x2，得x1-x2＜0，（x1+
x2）2++1＞0，于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以，函数f（x）在R上是增函数．
点评：此题主要考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是利用定义进行证明，是一道基础题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|