Question

【题目】设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.（ ，1]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），
即 = =f（1）= ，
∴数列{an}是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴an=f（n）=（ ）n ，
∴Sn= =1﹣（ ）n ，
由1﹣（ ）n在n∈N*上递增，可得最小值为1﹣ = ，
则Sn∈[ ，1）．
故选：A．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．