Question

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，且，|OP|=1（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为k的动直线l交
椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因为，所以，由，得．由此能得到椭圆的方程．
（Ⅱ）动直线l的方程为：，由得．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则由此能够证明在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以．（2分）
∵，∴PF₁⊥PF₂，∴；
又∵|OP|=1，∴c=1，
∴．b=1．因此所求椭圆的方程为：．（4分）
（Ⅱ）动直线l的方程为：，
由得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则．（8分）
假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则
=．（12分）
由假设得对于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）．（14分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．