Question

函数f(x)=x-

1-2x

的值域是

 

．

Answer 1

分析：设f（x）解析式中的二次根式等于t，两边平方表示出x，把表示出的x代入到f（x）中得到关于t的二次函数关系式，根据t的范围，利用二次函数求最值的方法即可求出f（x）的最大值，进而得到f（x）的值域．

解答：解：设

1-2x

=t（t≥0），即x=

1-t2

2

，
∴f（x）=x-

1-2x

化为：g（t）=

1-t2

2

-t=-

1

2

（t+1）²+1（t≥0），

根据图形得：当t=0时，g（t）的最大值为

1

2

，即当x=

1

2

时，f（x）的最大值为

1

2

，
则函数f（x）的值域为（-∞，

1

2

]．
故答案为：（-∞，

1

2

]．

点评：此题考查了函数值域的求法，考查了数形结合的思想．把原函数解析式利用换元的方法得到关于t的二次函数关系式是解本题的关键．同时在利用二次函数求最值时注意t的范围．