Question

如图4，在正三棱柱中，

D是的中点，点E在上，且。

（I）                    证明平面平面

（II）                  求直线和平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面

又DE平面ABC，所以DEAA.

而DEAE。AAAE=A  所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。

（2）解法1  如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，  ABDF

又CDDF=D，所以AB平面CDF，

而AB∥AB，所以

AB平面CDF，又AB平面ABC，故

平面AB C平面CDF。

过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。

连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。

由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，

CF=，AD==，DH==—，

所以 sinHAD==。

即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。

解法2  如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设

A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是

A(0,-1,0)， B（，0，0），  C（0，1，），  D（，-，）。

易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）

设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有

解得x=-y， z=-，

故可取n=(1，-，)。

所以，(n·)===。

由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。