Question

（本小题满分12分）

如图3，在正三棱柱中，AB=4，,点D是BC的中点，

点E在AC上，且DEE。

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

 （Ⅱ）过点A作AF垂直于点,

连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直线AD和

平面所成的角。因为DE，

所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因为，所以E= = 4,

 ,  .

即直线AD和平面所成角的正弦值为。