Question

【题目】在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点位于抛物线上.

（1）求抛物线的方程；

（2）设抛物线的准线与其对称轴的交点为，过点的直线交抛物线于点， ，直线交抛物线于另一点，求直线所过的定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设，则，进而解得坐标带入抛物线即可得解；

（2）根据题意， ，设点， ，由，利用坐标运算得，设点，由，得，利用点斜式得直线的方程是，代入条件整理可得，从而证得过定点.

试题解析：

（1）设，则，∴，解之得，

代入，得，所以抛物线的方程为.

（2）根据题意， ，设点， ，

因为， ， 三点共线，

所以，即，∴，∴，

设点，因为， ， 三点共线，

所以，即，∴.

所以，即，

所以，即①，

因为，所以直线的方程是.

即，即②，

由①②可得.所以直线过定点.