Question

18．在数列{a_n}中，a₁=1，（n+2）•a_n+1=（n+1）•a_n，则a_n=$\frac{2}{n+1}$．

Answer 1

分析 由条件得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，利用累积法进行求解即可．

解答 解：∵（n+2）•a_n+1=（n+1）•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{4}{5}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$，
等式两边同时相乘得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{4}{5}$…$\frac{n}{n+1}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{n+1}$，
即a_n=$\frac{2}{n+1}$•a₁=$\frac{2}{n+1}$×1=$\frac{2}{n+1}$，
当n=1时，a₁=1满足a_n=$\frac{2}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推关系利用累积法是解决本题的关键．