Question

已知x＞0,y＞0,且+=1,求x+y的最小值.

Answer 1

解法一:∵x＞0,y＞0,+=1,

∴x+y=(x+y)(+)=10++≥10+6=16,当且仅当=,

又∵+=1,

∴x=4,y=12时，上式等号成立.

故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.

解法二:∵+=1,x＞0,y＞0,

∴y=且x＞1.

故x+y=x+=x++9=(x-1)++10≥6+10=16.

当且仅当x-1=，∵x＞1,

∴x=4时上式等号成立.

解法三:∵+=1,

∴y+9x=xy.得(x-1)(y-9)=9.

又由条件知x＞1,y＞9,

∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=16.

当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.