正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=72x上,则这个正三角形的边长是 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y²=72x上,则这个正三角形的边长是_________.

解析:设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则y₁²=72x₁,y₂²=72x₂.

由|OA|=|OB|,得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²,

∴x₁²+2px₁-x₂²-2px₂=0.

∴x₁=x₂.

∴线段AB关于x轴对称.

∴∠AOx=30°,

∴.

∵,∴.

∴.

答案:

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若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则这个正三角形的面积是（　　）

（1）求焦点为（0，-6），（0，6）且经过点（2，-5）的双曲线方程；
（2）正三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形的边长．

以下四个命题：
①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②抛物线y=ax²的焦点到原点的距离是

；
③直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为4

p．其中正确命题的序号是

正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长．