Question

（2012•扬州模拟）已知平面上四个点A₁（0，0），A2(2

3

，2)，A3(2

3

+4，2)，A₄（4，0）．设D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，点P₀是四边形对角线的交点，若集合S={P∈D||PP₀|≤|PA_i|，i=1，2，3，4}，则集合S所表示的平面区域的面积为

4

．

Answer 1

分析：由集合S={P|P∈D，|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，则P点应位于P₀P_i的四条垂直平分线之内，又由D是四边形A₁A₂A₃A₄及其内部的点构成的点的集合，我们易画出满足条件的图象，并判断其形状，最后根据面积公式求出求出即可．

解答：解：如图所示，AD、CD、BC、AB分别为P₀P₁、P₀P₂、P₀P₃、P₀P₄的垂直平分线，若|PP₀|=|PP₁|，则点P在线段AD上，若|PP₀|≤|PP₁|，则点P在线段AD的右侧．
同理，若|PP₀|≤|PP₂|，则点P在线段CD的下方．
若|PP₀|≤|PP₃|，则点P线段BC的左侧．
若|PP₀|≤|PP₄|，则点P线段AB的上方．
综上可知，若|PP₀|≤|PP_i|，i=1，2，3，4则点P在四边形ABCD中．
且A（2，0），B（

3

+4，1），C（

3

+2，2），D（

3

，1），
AB=

( 3 +2)2+12

，AD=

( 3 -2)2+12

∴S=AB×AD=

( 3 +2)2+12

×

( 3 -2)2+12

=4．
故答案为：4．

点评：本题考查的知识点是不等式表示的平面区域，根据|PP₀|≤|PP_i|，画出满足条件的图形是解答本题的关键．