Question

点M是曲线C上任意一点，它到F（4，0）的距离比它到直线x+2=0的距离大2，且P（2m，m）（m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在曲线C上．
（1）写出该曲线C的方程及 m的值；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）由题意，根据圆锥曲线的定义可知曲线C为以F为焦点的抛物线，从而可求其方程，把点P代入方程可得m；
（2）由（1）知P（64，32），由PA，PB倾斜角互补且斜率存在，得k_PA+k_PB=0，代入斜率公式后转化纵坐标的方程可求y₁+y₂，再由斜率公式可求AB斜率；

解答：解：（1）由题意：M是曲线C上任意一点，它到F（4，0）的距离比它到直线x+2=0的距离大2，
因此，它到F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0的距离，
根据圆锥曲线的定义可知，曲线C为抛物线，且以F（4，0）为其焦点，
设y²=2px，

p

2

=4，2p=16，
∴曲线C的方程为y²=16x，
又P（2m，m）在曲线C上，∴m²=32m，解得m=32；
（2）由（1）知P（64，32），
∵PA，PB倾斜角互补且斜率存在，∴k_PA+k_PB=0，
则

y1-32

x1-64

+

y2-32

x2-64

=0，得

y1-32

y12 16 -64

+

y2-64

y22 16 -64

=0，即

16

y1+32

+

16

y2+32

=0，
∴y₂+32+y₁+32=0，∴y₁+y₂=-64，
kAB=

y2-y1

x2-y1

=

y2-y1

y22 16 - y12 16

=

16

y1+y2

=

16

-64

=-

1

4

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，有一定运算量．