Question

设a为实数，f(x)=(x2+

3

2

)(x+a)
1）若y=f（x）有平行于x轴的切线，求实数a的取值范围
2）若f′（-1）=0，①求y=f（x）的单调区间；②任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，不等式：|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据求导公式和法则求出导数，再由题意得f′（x）=0有解，根据判别式与方程的根关系，列出不等式求出a的范围；
（2）由f′（-1）=0求出a的值，代入由f′（x），求出临界点，f′（x）≥0和f′（x）≤0解集，即求出函数单调区间，再求出[-1，0]上的最大值和最小值，根据条件和恒成立对最大值和最小值作差，求出m的范围，再求出m的最小值．

解答：解：（1）由题意得，f′(x)=(x2+

3

2

)′(x+a)+(x2+

3

2

)(x+a)′
=2x（x+a）+x2+

3

2

=3x2+2ax+

3

2

，
∵y=f（x）有平行于x轴的切线，
∴f′（x）=3x2+2ax+

3

2

=0有解，即△=4a²-4×3×

3

2

≥0，
即a²≥

9

2

，解得a≥

3 3

2

或a≤-

3 3

2

，
（2）由f′（-1）=0得，3-2a+

3

2

=0，解得a=

9

4

，
∴f′（x）=3x2+2ax+

3

2

=3x2+

9

2

x+

3

2

，
由f′（x）=0得，3x2+

9

2

x+

3

2

=0，解得x=-1或-

1

2

，
由f′（x）≥0得，x≤-1或x≥-

1

2

，
由f′（x）≤0得，-1≤x≤-

1

2

，
∴函数的增区间是（-∞，-1），（-

1

2

，+∞），
减区间是[-1，-

1

2

]，
则任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，
当x=-

1

2

时，函数取最小值f(-

1

2

)=(

1

4

+

3

2

)(-

1

2

+

9

4

)=

49

16

，
∵f(0)=(0+

3

2

)(0+

9

4

)=

27

8

，f(-1)=(1+

3

2

)(-1+

9

4

)=

25

8

，
∴当x=-1时，函数取最大值

27

8

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，
∴m≥

27

8

-

49

16

=

5

16

，
故实数m的最小值是

5

16

．

点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数单调性和最值，以及恒成立求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．