Question

（06年北京卷理）（14分）

已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

Answer 1

解析：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）

（1）       当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x₀，此时A（x₀，），

B（x₀，－），＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：

（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

解得|k|>1又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

综上可知的最小值为2