Question

如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，

（1）求证：平面MNG//平面ACD；

（2）求

Answer 1

解析:

（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别

为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性

质找出与平面平行的直线。

证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。

∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，

则有：

连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。

同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD

（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。

解：由（1）可知，

∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD

同理：NG＝AC，MN＝CD，

∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，

∴＝1：9

点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。