Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线交椭圆于、两点，且线段的中点为，直线与椭圆交于、两点

（1）求直线与直线斜率的乘积；

（2）若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点、，将点、的坐标代入椭圆的方程，并将所得两式相减，利用点差法可计算出直线与直线斜率的乘积；

（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，列出韦达定理，求出点的坐标，计算出，由（1）可知，直线的方程为，与椭圆的方程联立，求出，再由可得出关于的方程，解出即可得出直线的方程.

（1）设，，，则，

两式相减得，

即，

所以，所以；

（2）直线的方程为，与椭圆联立得，

消去得，

所以，，

所以，，

，

所以，

直线的方程为：，联立，得

而，

，

所以，

所以，所以，

所以直线的方程为，即.