Question

已知圆C：x²+(y-1)²=5，直线l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）证明：圆的圆心为C（0，1），半径为， ∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离， ∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点。
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP， ∴， 设，则， 化简得：， 当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式； 故弦AB中点的轨迹方程是。
（Ⅲ）解：设，由，得， ∴，化简得，① 又由消去y得，，（*） ∴，   ② 由①②解得：， 带入（*）式解得：m=±1， ∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0。