Question

已知二次函数y=f(x)的图象经过原点且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范围.

Answer 1

解法一：∵y=f(x)经过原点，∴f(x)=ax²+bx(a≠0).

∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

∴

∴f(-2)=4a-2b.设f(-2)=m·(a+b)+n·(a-b)=(m+n)·a+(m-n)·b=4a-2b.

∴

∴

∴f(-2)=a+b+3(a-b).

∵3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,

∴6≤f(-2)≤10.

解法二:∵y=f(x)的图象过原点，

∴f(x)=ax²+bx(a≠0).

∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

∴

作出二元一次方程组所表示的aOb平面内的平面区域(如图)即可行域.

考虑z=4a-2b,将它变形为b=2a-z，这是斜率为2，随z变化的一组平行直线.-z是直线在b轴上的截距,当直线截距最大时,z的值最小.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z=4a-2b取得最小值;当直线截距最小时,z的值最大.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z=4a-2b取得最大值.

由图可见,当直线z=4a-2b经过可行域上的点A时截距最大,即z最小.

解方程组得A点的坐标为(2，1)，所以z_min=4a-2b=4×2-2×1=6.

当直线z=4a-2b经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.

解方程组得B点的坐标为(3，1).

所以z_max=4×3-2×1=10,所以6≤f(-2)≤10.