题目内容

对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：

①“平顶型”函数在定义域内有最大值；

②函数为R上的“平顶型”函数；

③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；

④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.

其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）

 

【答案】

①④

【解析】依题意：该函数在定义域内有最大值，②因为，去掉一个闭区间，剩下的不满足对任意x2D,当时，恒成立，③的错误理由同上，④满足是这个函数则有在恒成立，则有在恒成立，即在恒成立，，得

 

练习册系列答案
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对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数g(x)=mx+
x2+2x+n
是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．
（2013•成都二模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈D，且x1＜x2时都有 f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，
1
4
]时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
③?x∈[
1
4
，
3
4
]时，都有f(x)=
1
2

④函数f（x）的图象关于点(
1
2
，
1
2
)对称
其中你认为正确的所有命题的序号为
①③④
①③④
．
（2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=
3x+ax+1
在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x3-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．
（2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，．使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（X）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；
③函数f（x）=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数；
④函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数．
则以上说法中正确的是
①③
①③
．（填上你认为正确结论的序号）
（2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f（x）=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数；
③函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当t≤
3
4
时，函数，f(x)=
2，(x≤1)
log
1
2
(x-t)，(x＞1)
是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．
其中正确的是
①②④
①②④
．（填上你认为正确结论的序号）

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