Question

已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．

Answer 1

（1）或；（2）或；（3）时，，时，.

试题分析：（1）求数列的前4项，相对较容易，由题意可得成等比数列，而，要求得，对应再求得；（2）要求，实质上就是求，我们应求出的递推关系，从而求出通项，由题意，，而，这样就有，于是关于的递推关系就有了：，把它变形或用代入就可得到结论；（3）由（2）我们求出了，下面为了求，我们要把数列从前到后建立一个关系，分析已知，发现，这样就由而求出，于是，，得到数列的通项公式后，其前项和也就可求得了. 另外由于第（1）题中已知求出的数列的前4项（我们还可再求出接下来的一些项，增强想象），然后用猜想的方法猜测出其通项公式（），再数学归纳法证明之. 
试题解析：（1）由题意得
，，或.               2分
故数列的前四项为或.                   4分
（2）∵成公比为的等比数列，
成公比为的等比数列
∴，
又∵成等差数列，
∴.
得，，           6分
，
∴，，即.
∴ 数列数列为公差等差数列，且或.    8分
∴或.               10分
（3）当时，由（2）得.
，，
，
.                 13分
当时，同理可得，.                   16分
解法二：（2）对这个数列，猜想， 下面用数学归纳法证明：
ⅰ）当时，，结论成立.
ⅱ）假设时，结论成立，即.
则时，
由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，
∴ 时结论也成立.
所以由数学归纳法原理知.                 7分
此时.
同理对这个数列，同样用数学归纳法可证. 此时.
∴或.                           10分
（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.
显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形.
由（2），且成等比数列，
故，即结论对也成立.
从而由数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时.       13分
对于这个数列，同样用数学归纳法可证，此时.
此时.                                 16分