Question

【题目】在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线与曲线交于点、，以线段为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线的方程，若不能请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，直线的方程为：.

【解析】

（1）根据椭圆的定义求得，根据两个定点求得c，由此求得b，进而求得曲线的方程.（2）设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理.根据直径所对的圆周角为直角，得到，即，将前面韦达定理得到的表达式代入，化简求得的值，由此求出符合题意的直线的方程.

(1)设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴，故曲线C的方程为.

(2)设直线，分别交曲线C于，，其坐标满足 ,消去并整理得.故 ，.若以线段AB为直线的圆过坐标原点，则，即,

而，于是

化简得，所以，所以 所以直线l的方程为：