题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求a+c的值；
（2）若存在实数m，使得2sinA-sinC=m成立，求实数m的取值范围．

解：（1）∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∴ac=3． ①
由余弦定理，得 $\text{[math]}$ ，
∴3=a²+c²-ac，可得a²+c²=3+ac=6．
由此联解①、②，得 $\text{[math]}$ ．
（2）2sinA-sinC= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
由此可得2sinA-sinC的取值范围为 $\text{[math]}$ ，
即m的取值范围为（ $\text{[math]}$ ）
分析：（1）根据A、B、C成等差数列得到 $\text{[math]}$ ，从而将 $\text{[math]}$ 化简得到ac=3．再由余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，整理得到3=a²+c²-ac，两式联解即可得到 $\text{[math]}$ ；
（2）根据C= $\text{[math]}$ -A，将等式左边展开，化简得到2sinA-sinC= $\text{[math]}$ ，结合A的取值范围并利用正弦函数的图象与性质，算出2sinA-sinC∈（ $\text{[math]}$ ），由此即可得到实数m的取值范围．
点评：本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值，求三角形角B的大小和a+c的值，着重考查了平面向量数量积运算公式、运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．