Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都相等，则二面角A₁-BC-A的平面角的正切值为（　　）

• A．

  6

  2

• B．

  3

• C．1
• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：先取BC的中点E，可得二面角A₁-BC-A的平面角为∠A₁EA，再在直角三角形A₁EA中求出其正切即可．

解答：解：设棱长为a，BC的中点为E，连接A₁E，AE，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都相等．
可得A₁E⊥BC，AE⊥BC
所以；二面角A₁-BC-A的平面角为：∠A₁EA，
在RT_△ABC中，AE=

3

2

a，
所以：tan∠A₁EA=

AA 1

AE

=

a

3 2 a

=

2 3

3

．
即二面角A₁-BC-A的平面角的正切值为：

2 3

3

故选：D．

点评：本题主要考查二面角的平面角及求法．解决本题的关键在于通过取BC的中点E，得二面角A₁-BC-A的平面角为∠A₁EA，进而求出结论．