题目内容

已知函数f（x）=
x2+ax
（a＞0）在（2，+∞）上递增，求实数a的取值范围．
分析：运用函数单调性的定义，因为函数在（2，+∞）上递增，设2＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）＜0在（2，+∞）恒成立，从而确定出实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=
x2+a
x
（a＞0）在（2，+∞）上递增，
∴设2＜x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=
x
2
1
+a
x1
-
x
2
2
+a
x2
=（x1-x2）+a
x2-x1
x1x2
=（x1-x2）
x1x2-a
x1x2
＜0在（2，+∞）恒成立，
∵2＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
（x1-x2）
x1x2-a
x1x2
＜0在（2，+∞）恒成立转化为，当2＜x1＜x2时，x1x2＞a恒成立，
∵x1x2＞4，
∴0＜a≤4，
∴实数a的取值范围为0＜a≤4．
点评：本题考查了函数单调性定义的应用，一般运用函数的单调性判断或证明函数的单调性，而本题是单调性定义的逆向应用，通过函数的单调性的定义，将问题转化为函数的恒成立问题．属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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