Question

设a＞1，定义f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A、(2，

  29

  17

  )
• B、（0，1）
• C、（0，4）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：由不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．

解答：解：由f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

知，f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

…+

1

2n+2

，
∴f(n+1)-f(n)=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立，
则满足12•

7

12

+7log_ab＞7log_a+1b+7，
即log_ab＞log_a+1b，
即

lgb

lga

＞

lgb

lg(a+1)

，
∴lgb•

lg(a+1)-lga

lga•lg(a+1)

＞0
∵a＞1，∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．

点评：此题考查数列的增减性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决．